命題２２
たくさんの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、2項と2項を共にとられて同じ比であるならば、等間隔比により、それらは同じ比でもある。
任意個の量A、B、Cがあり、それらと量において等しい他のD、E、Fがあり、それらが2項と2項を共に取られたとき同じ比であることをいう。つまりAはBに対し同じようにDはEに対し、そしてBはCに対し同じようにEはFに対する。
それらはまた等間隔比で同じ比であることをいう。つまりAはCに対し同じようにDはFに対する。definitionⅤ．１７
AとDの同倍数GとHを取り、他の、任意の、BとEの同倍数KとLを取り、さらに、他の、任意の、CとFの同倍数MとNを取る。
AはBに対し同じようにDはEに対し、AとDは同倍数GとHを取り、BとEは他の、任意の、同倍数KとLを取るから、それゆえにGはKに対し同じようにHはLに対する。propositionⅤ．４
同じ理由でまたKはMに対し同じようにLはNに対する。
3つの量G、K、Mがあり、他のそれらと等しい個数の量H、L、Nがあり、2項と2項を共にとられて同じ比であるから、それゆえに、等間隔比により、GがMより大きいならば、HもまたNより大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。propositionⅤ．２０
そしてGとHはAとDの同倍数であり、MとNは他の、任意のCとFの同倍数である。
それゆえにAはCに対し同じようにDはFに対する。definitionⅤ．５
それゆえに、たくさんの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、2項と2項を共にとられて同じ比であるならば、等間隔比により、それらは同じ比でもある。
証明終了